MATERI
KONSEP DASAR PELUANG
Nama : EVNI SRI WAHYUNI HRP
Nim : 1720200072
Pengertian Peluang
Peluang adalah besarnya probabilitas atau kemungkinan berlangsungnya suatu kejadian. Konsep peluang ini tidak hanya diterapkan pada hal-hal yang bersifat sederhana seperti permainan dadu, melainkan pada hal yang lebih kompleks, seperti investasi, ramalan cuaca, asuransi, dan lainnya. Itulah mengapa, materi peluang perlu dikenalkan sejak di bangku sekolah.
Konsep Dasar Peluang
Konsep dasar peluang merupakan penjabaran lebih rinci tentang besaran-besaran apa yang harus kamu kuasai. Konsep ini diperoleh melalui percobaan. Adapun konsep dasar peluang meliputi ruang sampel dan titik sampel.
Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil yang didapatkan dari suatu percobaan. Ruang sampel biasa dinyatakan sebagai S. Contohnya, ruang sampel dari dadu adalah angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Titik Sampel
Titik sampel adalah bagian dari ruang sampel. Contohnya adalah saat kamu melemparkan satu buah dadu, salah satu kemungkinan angka yang akan keluar adalah 4.
Contoh: Dari seperangkat kartu bridge, akan diambil satu kartu secara acak. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut!
Pembahasan: Dalam seperangkat kartu bridge, ada 4 jenis kartu, yaitu hati, sekop, wajik, dan keriting. Masing-masing kartu terdiri atas 13 kartu, yaitu As sampai King. Dengan demikian, ruang sampelnya adalah 4 × 13 = 52 kartu.
Pengertian Peluang Klasik
Peluang klasik adalah peluang pertama yang dipelajari oleh para matematikawan di abad ke-17 dan 18. Semua kejadian yang akan terjadi ditentukan melalui ruang sampel. Pada peluang jenis ini, semua kejadian diasumsikan memiliki peluang yang sama untuk terjadi.
Untuk menentukan peluang kejadian A, kamu harus membandingkan antara banyaknya kejadian A dan banyaknya keluaran pada ruang sampel. Secara matematis, kejadian A ditulis sebagai berikut:
P(A) =
Contoh: Dari seperangkat kartu bridge, akan diambil kartu merah bernomor 10. Tentukan peluang terambilnya kartu merah bernomor 10!
Pembahasan: Seperangkat kartu bridge terdiri dari 52 kartu. Artinya, banyaknya ruang sampel percobaan tersebut n(S) = 52. Terambilnya kartu merah bernomor 10 menunjukkan n(A) = 2. Berdasarkan teori peluang klasik diperoleh:
P(A) = =
=
Jadi, peluang terambilnya kartu warna merah nomor 10 adalah 1⁄26.
Kejadian-Kejadian Komplemen
Konsep penting lainnya yang harus kamu pelajari di materi peluang ini adalah kejadian yang saling berkomplemen. Komplemen kejadian A adalah kejadian yang terjadi di ruang sampel selain A. Kejadian komplemen ini biasa dinyatakan dengan Ac. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut:
n
Mengingat semua jumlah kejadian = 1, maka persamaan di atas menjadi seperti berikut.
P(A) + P() = 1 atau P() = 1 – P(A)
Contoh: Jika peluang siswa SMA Taruna gagal dalam ujian adalah 0,0001, tentukan peluang siswa SMA Taruna berhasil dalam ujian!
Pembahasan: Misalkan A adalah kejadian siswa SMA Taruna gagal dalam ujian. Dengan demikian, Ac adalah kejadian SMA Taruna berhasil dalam ujian. Berdasarkan persamaan komplemen kejadian, diperoleh:
P(Ac) = 1 – P(A)
= 1 – 0,0001
= 0,9999
Jadi, peluang siswa SMA Taruna berhasil dalam ujian adalah 0,9999.
Peluang Empirik
Peluang empirik adalah peluang suatu kejadian yang diperoleh dari hasil observasi atau kejadian nyata. Secara matematis, peluang empirik dirumuskan sebagai berikut.
P(A) = =
Contoh: Suatu perusahaan ingin meneliti pilihan transportasi masyarakat dari Jakarta ke Bandung. Perusahaan tersebut memilih 100 responden dari beberapa kecamatan di Jakarta. Hasil dari penelitian tersebut ditunjukkan oleh tabel berikut.
Pilihan transformasi
frekuensi
Bus
16
Kereta api
29
Mobil pribadi
20
Mobil umum
16
Motor
11
Pesawat
9
Tentukan peluang masyarakat memilih mobil umum dari Jakarta ke Bandung!
Pembahasan: Jika A adalah kejadian masyarakat memilih mobil umum, ini berati f(A) = 15. Dengan demikian,peluangkejadian A adalah sebagai berikut:
P(A) = =
=
Jadi, peluang masyarakat memilih mobil umum dari Jakarta ke Bandung adalah 0,15 atau 15%.
Aturan Penjumlahan Peluang
Aturan penjumlahan peluang merupakan metode yang digunakan ketika dua kejadian atau lebih berlangsung secara beriringan.
Kejadian Tidak Saling Lepas
Contohnya saat pemilihan ketua OSIS. Saat memilih ketua OSIS, kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-mu ganteng dan pintar, atau pintar saja tetapi tidak ganteng, atau ganteng saja tetapi tidak pintar?
Kejadian ini disebut kejadian tidak saling lepas. Aturan penulisan kejadian tidak saling lepas adalah sebagai berikut, rumus untuk kejadian A dan B tidak saling lepas:
P(A∪B = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Kejadian Saling Lepas
Contohnya adalah kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-nya laki-laki atau perempuan. Artinya, tidak mungkin seseorang bersamaan antara laki-laki atau perempuan. Dengan demikian, kejadian tersebut dinamakan kejadian saling lepas. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut, rumus untuk kejadian A dan B saling lepas:
P(A∪B = P(A) + P(B)
Aturan Perkalian Peluang
Pada prinsipnya, aturan perkalian hampir sama dengan penjumlahan. Hal yang membedakan adalah contoh kasusnya.
Kejadian Tidak Saling Bebas
Contoh kamu memiliki 3 lusin buku dengan rincian 1 lusin buku sains, 1 lusin buku fiksi, dan 1 lusin buku novel. Saat kamu mengambil sebuah buku tanpa pengembalian, tentunya akan akan berpengaruh pada jumlah keseluruhan buku, kan?
Artinya, peluang pada pengambilan kedua berbeda dengan pengambilan pertama karena buku tidak dikembalikan kembali. Secara matematis, kejadian tidak saling bebas kejadian A dan B dirumuskan sebagai berikut:
P(A∩B) = P(A).
Kejadian Saling Bebas
Contohnya kamu melemparkan koin dan dadu secara bersamaan. Kamu ingin tahu peluang munculnya koin bergambar angklung dan dadu bernomor 5.
Jelas bahwa koin dan dadu tidak saling berpengaruh satu sama lain. Kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Secara matematis, kejadian A dan B saling bebas dirumuskan sebagai berikut:
P(A∩B) = P(A).P(B)
Peluang Kejadian Bersyarat
Pada keadaan tidak saling bebas, kamu mengenal persamaan berikut:
P(A∩B) = P(A).
Jika kedua rumus dibagi P(A) diperoleh:
P(B|A) dibaca peluang kejadian B terjadi setelah A.
Contoh tentang aturan penjumlahan dan perkalian peluang serta peluang kejadian bersyarat, simak contoh soal berikut:
Contoh Soal 1: Berikut ini merupakan data sebaran anggota serikat buruh dari 5 kota besar di Indonesia.
Nama kota
Frekuensi
Bandung
314
Jakarta
258
Yogyakarta
345
Medan
267
Padang
113
Jika hendak dipilih 1 orang secara acak untuk menjadi ketua serikat buruh, tentukanpeluang terpilhnya ketua serikat buruh dari Kota Bandung atau Padang!
Pembahasan: Diketahui: n = 1.297
Misalkan A adalah kejadian terpilihnya ketua serikat buruh dari Bandung dan B kejadian terpilihnya ketua serikat buruh dari Padang. Kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga disebut kejadian saling lepas.
P(A∪B = P(A) + P(B)
=
=
Jadi, peluang terpilihnya ketua serikat buruh dari Kota Bandung atau Padang adalah 427⁄1297.
Contoh Soal 2: Departemen Kepolisian suatu kota melaporkan bahwa tahun 2014 terjadi 10 kasus, 2015 terjadi 8 kasus, dan 2016 terjadi 5 kasus kejahatan. Jika pihak kepolisian akan memilih dua kasus secara acak, tentukan peluang terpilihnya kasus pada tahun 2014.
Pembahasan: Pemilihan kasus pertama akan berpengaruh pada kasus kedua karena banyaknya kasus pada pemilihan kedua akan berkurang. Ini berarti, pemilihan kasus kejahatan pertama di tahun 2014 dan pemilihan kasus kedua tahun 2014 merupakan kejadian tidak saling bebas. Dengan demikian, diperoleh:
P(2014∩2014) = P(2014).
=
=
Jadi, peluang terpilihnya kasus dari tahun 2014 adalah 45⁄253.
Contoh Soal 3: SMA Manggala memberikan kuesioner tentang setuju tidaknya para siswa untuk melakukan study tour ke TMII. Kuesioner tersebut dibagikan pada seratus siswa kelas IX.
Ya
Tidak
Jumlah
Laki – laki
24
16
40
Perempuan
13
47
60
Jumlah
37
63
100
Jika pihak sekolah ingin mengambil jawaban satu orang secara acak, tentukan peluang terpilihnya jawaban ya dari siswa laki-laki!
Pembahasan: Kejadian tersebut bersyarat. Artinya, siswa harus memberikan jawaban ya/tidak, barulah pihak sekolah akan mengambil jawabannya
=
=
Jadi, peluang siswa laki-laki yang menjawab ya adalah 0,6 atau 60%.
Ada tiga komponen penting dari peluang yaitu eksperimen/ percobaan, ruang sampel dan peristiwa
Eksperimen E adalah percobaan/ kegiatan darimana suatu gejala atau pengukuran diamati. Suatu eksperimen biasanya menghasilkan lebih dari satu hasil (misalnya lulus tidak lulus,muncul angka atau gambar, muncul angka genap, muncul angka ‘1,2, dan seterusnya), hasil yang tidak bisa diuraikan menjadi hasil yang lebih kecil disebut titik sampel.
Contoh eksperimen yaitu sebagai berikut:
1.) Melempar uang logam 1 kali atau 2.
2.) Mengamati lamanya sambungan telfon dalam detik dalam 1 hari.
3.) Mengamati banyaknya lemparan uang logam yang diperlukan sampau muncul angka
4.) Mengamati banyaknya hubungan telfon dalam 1 hari pada satu nomor, dll.
Titik sampel adalah hasil yang tidak dapat didekomposisi menjadi hasil yang lebihkecil. Titik sampel biasanya dinotasikan dengan Ei; i = 1; 2; 3;
Contoh titik sampel dari suatu eksperimen adalah:
1.) Pada eksperimen melempar uang logam 2 kali, titik sampelnya adalah AA; AG; GA; GG
2.) Pada eksperimen melempar dadu 1 kali, titik - titik sampelnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6
3.) Pada eksperimen menyusun bilangan puluhan dari angka {0, 1, 2, 3}; titik - titik sampelnya adalah bilangan - bilangan 10; 11;….; 33;
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel yaitu semua hasil yang mungkin terjadi.. Ruang sampel biasanya dinotasikan dengan S.
Ruang sampel dibedakan menjadi dua macam yaitu:
1. Ruang sampel diskrit, jika terdiri atas titik-titik sampel berhingga atau tak berhingga secara terhitung (countably infinite), yaitu apabila dapat dibuat korespondensi satu - satu dengan antara ruang sampel itu dengan sebagian atau seluruh himpunan bilangan asli.
2. Ruangsampel kontinu, apabila memuat titik - titik sampel yang tak ternomorkan (nondenumarable),yaitu tidak bisa dikorespondensikan satu - satu dengan sebagian atau seluruh bilangan asli.
Contoh Ruang sampelnya seperti berikut ini:
Untuk pelemparan uang logam satu kali S = { A; G} sedangkan untuk melempar uang logam dua kali S = { AA; AG; GA; GG }
Untuk melempar satu dadu ruang sampelnya adalah S = { 1, 2, 3, 4, ,5 ,6 } sedangkan untuk melempar dua dadu ruang sampelnya adalah S = { 1; 1}, { 1; 2},…….{ 6; 6}
Ruang sampel bilangan puluhan yang bisa dibuat dari angka - angka yang ada (tak berulang)adalah S = { 10; 12; 13; 20; 21; 23; 31; 32 }
Ruang sampel lama waktu sambungan telfon (misalnya dalam satuan detik) adalah S = { x V O < x < }
Ruang sampel banyaknya hubungan telfon adalah S = { 0, 1, 2, …}
Ruang sampel banyaknya lemparan yang diperlukan adalah S = { 1, 2, 3, …}
Pada contoh eksperimen lamanya sambungan telfon merupakan eksperimen dengan ruang sampel kontinu, sedangkan sisanya merupakan eksperimen dengan ruang sampel diskrit.
Peristiwaadalah sebagian dari ruang sampel yang menjadi pusat perhatian kita. Peristiwa merupakan subsut dari ruang sampel dan dinotasikan dengan huruf besar misalnya A, B.
Secara khusus S disebut juga peristiwa yang pasti, sementara ∅ disebut peristiwa yang mustahil. Pada dasarnya ruang sampel S adalah himpunan semesta dari suatu kejadian dengan unsur-unsurnya adalah titik sampel. Sedangkan peristiwa adalah himpunan bagian dari himpunan semesta.
Peristiwa A dan B dikataan saling bebas (mutually independent) & apabilat erjadinya peristiwa A tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa B dan sebaliknya.
Contoh Pada eksperimen/ percobaan tossing (melempar) satu uang logam, dengan muka angka A dan gambar G, sebanyak dua kali maka:
Ruang sampelnya adalah S = { AA; AG; GA; GG }
Beberapa peristiwa yang bisa diamati diantaranya adalah munculnya dua gambar ataumunculnya satu gambar
Peristiwa A dan B dikatakan tidak saling lepas (mutually exclussive) & apabila peristiwa A tidak mungkin terjadi bersama sama dengan peristiwa B.
contoh peristiwa - peristiwa yang saling bebas yaitu :
Munculnya mata dadu pada dadu pertama dan mata dadu pada dadu kedua jika dua dadu dilempar sekaligus
Munculnya A pada pelemparan pertama dan G pada pelemparan kedua bila uang logam dilempar dua kali.
Contoh peristiwa yang tidak saling bebas adalah pengambilan bola dari ember bola. Bila dalam satu ember ada bola merah dan + bola putih dan dilakukan pengambilan dua kali tanpa pengembalian, maka peristiwa terambil bola pertama merah dan terambil bola kedua putih adalah peristiwa yang tidak saling bebas.
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat A terhadap B, P(A) adalah peluang terjadinya A apabila telah terjadi B. Untuk memahami ide peluang bersyarat, misalkan suatu eksperimen diulang banyak kali sehingga menghasilkan beberapa jenis peristiwa misalnya:
1. Peristiwa A ∩ B dengan banyaknya titik sampel
2. peristiwa A ∩dengan banyaknya titik sampel
3. peristiwa ∩ B dengan banyaknya titik sampel na’b
4. peristiwa ∩ dengan banyaknya titik sampel
jika terjadi B maka peluang terjadinya A sama dengan bisa kita tentukan sebagai:
P = dengan P (B)
Dua Peristiwa Saling Bebas
Jika A dan B saling bebas & maka pristiwa A tidak bergantung pada B & dengan katalain
P
Dua peristiwa dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain.Dengan kata lain, peluang terjadinya peristiwa yang satu, tidak dipengaruhi peluang terjadinya peristiwa yang lain.
Dalil Bayes
Defenisi
Kaidah Bayes Ambil F1, F2, ..., Fn adalah kejadian mutually exclusive dan = S dan kejadian E dapat dituliskan sebagai E = ∩ Fi) = S
maka P =
= P
Contoh :
Anggap terdapat 5 harddisk baik dan 2 harddisk rusak pada satu kemasan. Untuk mendapatkan harddisk yang rusak, dilakukan pengujian dengan cara mengambil dan menguji satu per satu secara acak tanpa pemulihan. Berapa peluang diperoleh 2 harddisk rusak pada dua pengujian yang pertama?
Jawab :
Misal D1 dan D2 adalah kejadian diperoleh harddisk rusak pada pengujian pertama dan kedua. Maka P(D1) = dan P(D2 | D1) =sehingga P(D1 ∩ D2) = P(D1)P(D2|D1)
= =
Sifat – sifat peluang
Peluang besarnya dari 0 sampai dengan 1.
Peluang sampel besarnya sama dengan 1
Probabilitas kejadian A atau B P (AuB) = P(A) +P(B) - P(AnB)
Tidak ada 2 kejadian yang sama terjadi bersamaan pada waktu yang sama, P(AuB) = P(A)+P(A)
P(A') = 1 - P(A)
Jika ada 2 kejadian A dan B indipenden P(AnB) =P(A) X P(B)
Jika 2 kejadian tidak indipenden P(AnB) = P(A) X P(B/A)
Peluang Berdasarkan Tekhnik Membilang
Dalam penghitungan nilai peluang sebuah peristiwa, peristiwanya bisa saja ditentukan berdasarkan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.
1. Permutasi adalah pengaturan atau penyusunan beberapa unsur dengan memperhatikan urutan. Definisi permutasi disajikan sebagai berikut:
“Permutasi sekumpulan obyek/unsur adalah suatu pengaturan dengan memperhatikan urutan dari semua obyek atau sebagian. Dengan kata lain, permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n ) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan”.
Rumus umum banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah sebagai berikut, = .
Secara umum rumus untuk permutasi n unsur yang memuat k, l, m, dan seterusnya unsur yang sama adalah sebagai berikut. P =
Contoh:
1. Hitunglah permutasi 6 unsur yang diambil dari 7 unsur yang tersedia.
2. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf M, A, D, danU
Penyelesaian:
1. Permutasi 6 unsur yang diambil dari 7 unsur yang tersedia adalah
7P6 = =
= 1.2.3.4.5.6.7
= 5040
2. Huruf-huruf pada M, A, D, dan U semuanya berbeda, sehingga banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk adalah
4P4 = =
= 1.2.3.4
=24
2. Kombinasi Kombinasi merupakan pengaturan atau penyusunan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan. Dapat didefenisikan “Kombinasi sekumpulan unsur adalah suatu pengaturan dari semua atau sebagian unsur dengan tidak memperhatikan urutan. Dengan kata lain, kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n ) adalah susunan dari r unsur itu tanpa memperhatikan urutan”.
Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan nCr dan ditentukan dengan rumus berikut ini. nCr =
Contoh:
Hitunglah 10C4
Tentukan banyaknya kombinasi dari 5 unsur yang diambil dari 9 unsur yang tersedia.
Penyelesaian:
Berikut adalah perhitungan 10C4
10C4 =
= =
2. Banyaknya kombinasi dari 5 unsur yang diambil dari 9 unsur yang tersedia berarti kita akan menghitung 9C5 sebagai berikut.
9C5 =
= =
